Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于A、D的任意一点，
（1）证明：EF⊥FC₁；
（2）若AB=

2

，是否存在点E满足EF与平面FA₁C₁所成角为arcsin

30

6

，若存在，求点E到平面A₁C₁CA的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意先证明AD⊥面B₁BCC₁，得AD⊥C₁F；再利用Rt△DBF 1≌Rt△FB1C证明C₁F⊥FD，可得C₁F⊥面DEF；即可得证；
（2）先假设存在，建立坐标系求出平面FA₁C₁的法向量，利用向量数量积列出EF与平面FA₁C₁所成角的余弦值求解即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱锥，∴B₁B⊥面ABC
∴BB₁⊥AD，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥面B₁BCC₁，C₁F?面B₁BCC₁
∴AD⊥C₁F；∵BC=BF=2，∴DB=1，又∵FB₁=1
∴Rt△DBF 1≌Rt△FB1C，∴∠DBF+∠C₁FB₁=

π

2

，
∴∠DFC₁=

π

2

∴C₁F⊥FD，
∴C₁F⊥面DEF，∴C₁F⊥EF
（2）以A₁为坐标原点，A₁B₁、A₁C₁、A₁A所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
∴

A1C1

=（0，

2

，0），

A1F

=（

2

，0，1），
设面A₁FC₁的法向量为

n

=（x，y，z），则有

n

•

A1C1

=0，

n

•

A1F

=0可得

n

=（1，0，-

2

），D（

2

2

，

2

2

，3）
设E（

2

2

t，

2

2

t，3）（0＜t＜1），
∴

FE

=（

2

2

t-

2

，

2

2

t，2），由已知

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6

=

| n • FE |

| n |•| FE |

．
整理得2t²+t-3=0，解之得t=-

3

2

或t=1
∴不存在合适的点E．

点评：本题先根据线面垂直的定义和判定定理证明线线垂直；对于线面角问题用向量求解要简单，此题需要
根据题意列出满足题意的式子求解，判断是否存在合适的点．