题目内容

设F₁、F₂是椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点，过左焦点F₁的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂是以AF₂为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|= $\text{[math]}$ |AB|=| $\text{[math]}$ BF₂|，设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|= $\text{[math]}$ m，根据椭圆的定义可建立m，a之间的关系，然后根据B为直角，根据勾股定理可得a，c直角的关系，可求离心率
解答：

解：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|= $\text{[math]}$ |AB|=| $\text{[math]}$ BF₂|，
设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|= $\text{[math]}$ m
由椭圆定义可知，AF₁=2a- $\text{[math]}$ m，BF₁=（1+ $\text{[math]}$ ）m-2a，BF₂=4a-（ $\text{[math]}$ +1）m
∴BF₂=4a-（ $\text{[math]}$ +1）m=m
∴m=（4-2 $\text{[math]}$ ）a
∵B=90°
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =4c²
整理可得， $\text{[math]}$
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选A
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．

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设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF₁F₂是（　　）

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C.斜三角形 D.直角三角形

（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）

我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

（1）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，试求d₁·d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

（2）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁·d₂的值。

（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。

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设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，

则的面积为（）

A．4 B．6 C． D．