Question

【题目】在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为.

（1）若，求的值；

（2）若，证明成等比数列（）；

（3）若对任意，成等比数列，其公比为，设，证明数列是等差数列.

Answer 1

【答案】（1），.（2）见证明；（3）见证明；

【解析】

（1）由成等差数列且公差为2可计算的值.

（2）由可得，再根据得到，从而可证成等比数列.

（3）利用成等比数列且公比为可得，对该递推关系变形后可得为等差数列.

（1）因为对任意，成等差数列，

所以当时，成等差数列且公差为2，

故，故.

（2）证明：由题设，可得，.所以

，

由得，，

从而，所以.

于是，

所以当时，对任意的，成等比数列.

（3）由成等差数列，及成等比数列，

可得，所以，

当时，可知，，

从而，即，

所以数列是公差为1的等差数列.