Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，右准线为x=3

2

，离心率为

6

3

．若直线y=t（t＞o）与椭圆C交于不同的两点A，B，以线段AB为直径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x-

3

y+1=0截得的线段长．

Answer 1

分析：（1）由已知条件设出椭圆方程，利用准线方程和离心率求出a和c的值，结合隐含条件求出b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程求出A，B的坐标进一步求出向量

OA

，

OB

的坐标，根据圆M与x轴相切得到两个向量的数量积等于0，代入坐标后求出t的值，则圆心坐标和半径可求，利用弦心距公式求弦长．

解答：解：（1）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵

a2

c

=3

2

，

c

a

=

6

3

，∴a=2

3

，c=2

2

．
∴bb²=a²-c²=4．
则椭圆C的标准方程为

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）联立

y=t(t＞0) x2 12 + y2 4 =1

，得x=±

12-3t2

．
∴A(-

12-3t2

，t)，B(

12-3t2

，t)．
则

OA

=(-

12-3t2

，t)，

OB

=(

12-3t2

，t)．
∵圆M与x轴相切，
∴

OA

•

OB

=0，即-（12-3t²）+t²=0，解得t=

3

．
∴圆M的圆心为（0，

3

），半径为

12-3t2

=

3

．
∴圆心M到直线x-

3

y+1=0的距离为d=

|-3+1|

12+ 3 2

=1．
所以圆M被直线x-

3

y+1=0截得的线段长为2

3 2-12

=2

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的运算能力，是难题．