题目内容

已知函数 $数学公式$ ，求f^-1（x）并判断f^-1（x）的单调性．

解：由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，
∵10^x＞0，
∴0＜y＜1；
于是： $\text{[math]}$ ，x∈（0，1）．
当0＜x₁＜x₂＜1时， $\text{[math]}$
∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴ $\text{[math]}$ ，
于是： $\text{[math]}$ ，
即：f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函数．
分析：由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，再转化为对数形式，然后由10^x＞0，求得反函数的定义域．用定义法判断其单调性，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形与零比较，得到f^-1（x₁）与f^-1（x₂）关系，可得结论．
点评：本题主要考查函数的反函数的求法及其单调性的判断，在求反函数时，要抓住x与y互换和原函数与反函数定义域与值域互换这两点．