Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）C是以MN为直径的圆，求出M，N的坐标，利用，判断，求得原点O在圆C的内部；
（2）设椭圆的离心率为，推出a=2c，利用基本不等式，通过MN的最小值为求出c，a，b，从而求出椭圆方程．
解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c（c＞0），
则其右准线方程为x=，且F₁（-c，0），F₂（c，0）．
设，
则
．
因此
即．
于是，故∠MON为锐角．
所以原点O在圆C外．
（2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c，
于是M（4c，y₁）N（4c，y₂），且
MN²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂=|y₁|²+|y₂|²+2|y₁y₂|≥4|y₁y₂|=60c²．
当且仅当y₁=-y₂=或y₂=-y₁=时取“=”号，
所以（MN）_min=2c=2，于是c=1，从而a=2，b=，
故所求的椭圆方程是．
点评：本题考查点与圆的位置关系，椭圆的标准方程，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，是中档题．