题目内容
已知函数f（x）=2x2-13．证明：
（1）f（x）是偶函数；
（2）f（x）在[0，+∞）上是增加的．
（1）f（x）是偶函数；
（2）f（x）在[0，+∞）上是增加的．
分析：（1）先求出函数的定义域，再化简f（-x），判断出与f（x）的关系，再下结论；
（2）在[0，+∞）上取值并规定x1＜x2，再作差f（x1）-f（x2），代入解析式后化简，判断符号下结论．
（2）在[0，+∞）上取值并规定x1＜x2，再作差f（x1）-f（x2），代入解析式后化简，判断符号下结论．
解答：证明：（1）由题意知函数的定义域是R，
∵f（-x）=2（-x）2-13=2x2-13=f（x），
∴函数f（x）=2x2-13是偶函数，
（2）设任意x1，x2∈[0，∞），且x1＜x2，
则x1-x2＜0且x1+x2＞0
∴f（x1）-f（x2）=(2x12-13)-(2x22-13)
=2（x1-x2）（x1+x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=2x2-13在[0，+∞）上是增函数．
∵f（-x）=2（-x）2-13=2x2-13=f（x），
∴函数f（x）=2x2-13是偶函数，
（2）设任意x1，x2∈[0，∞），且x1＜x2，
则x1-x2＜0且x1+x2＞0
∴f（x1）-f（x2）=(2x12-13)-(2x22-13)
=2（x1-x2）（x1+x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=2x2-13在[0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了二次函数的奇偶性和单调性的判断，主要是利用定义进行证明．
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