Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD 且2EF=BD．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）利用条件公式求几何体的条件．
解答：解：（Ⅰ）∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴ED⊥AC．…（2分）
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（4分）
∴AC⊥平面BDEF．                       …（6分）
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）连结FO，∵EF∥DO，且EF=DO，
∴四边形EFOD是平行四边形．
由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，
∴四边形EFOD是矩形．…（8分）
方法一：∴F0∥ED，
而ED⊥平面ABCD，∴F0⊥平面ABCD．
∵ABCD是边长为2的正方形，∴OA=OC=．
由（Ⅰ）知，点A，C到平面BDEF的距离分别是OA，OC，
从而；
方法二：∵平面EAC⊥平面BDEF．
∴点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，
且高．…（10分）
∴几何体ABCDEF的体积
．
…（12分）
点评：本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．