Question

已知函数f（x）=log₃x．
（Ⅰ）若关于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在区间（0，1）内，求实数a的范围；
（Ⅱ）若函数f（x²-2ax+3）在区间[2，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（ax）f（ax²）=f（3），∴log₃^ax•=log₃³，
∴（log₃a+log₃x）（log₃a+2log₃x）=1，∴2（log₃x）²+3log₃a•log₃x+log₃²a-1=0．
令t=log₃x，∵0＜x＜1，∴t＜0．∴方程2t²+3log₃a•t+log₃²a-1=0的两根为负．
∴△=（3log₃^a）²-8（log₃²a-1）≥0，，
，∴．…（7分）
（Ⅱ）∵函数f（x²-2ax+3）=log₃（x²-2ax+3）在[2，+∞）上单调递增，
∴g（x）=x²-2ax+3在[2，+∞）上大于零且单调递增，
，∴．…（12分）
分析：（Ⅰ）由条件可得2（log₃x）²+3log₃a•log₃x+log₃²a-1=0，令t=log₃x，可得方程2t²+3log₃a•t+log₃²a-1=0的
两根为负，由判别式大于或等于0及两根之和小于0、两根之积大于0，求出实数a的范围．
（Ⅱ）由题意可得g（x）=x²-2ax+3在[2，+∞）上大于零且单调递增，，由此求得正实数a的取值范围．
点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，复合函数的单调性的判断和证明，换元过程中注意变量范围
的改变．