Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．
（1）求证：面PBC⊥面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，我们可得DE⊥PB，再由EF⊥PB结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到结论．
（2）由（II1）中结论，可得PB⊥FD．结合EF⊥PB，由二面的定义可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解三角形EFD即可得到答案．

解答：证明：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．
又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
∴PC是PB在平面PDC内的射影．
∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．
由三垂线定理知，DE⊥PB．
∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．   
又∵PB?面PBC…（8分）
∴面PBC⊥面EFD；
解：（2）∵PB⊥平面EFD，
∴PB⊥FD．
又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，
∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）
∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2

2

，DE=

1

2

PC=

2

∵PD⊥DB，
∴PB=

PD2+DB2

=2

3

DF=

PD•DB

PB

=

2 6

3

由（1）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．
∵EF?平面PBC，∴DE⊥EF．
在Rt△DEF中，sin∠EFD=

DE

DF

=

3

2

∴∠EFD=60°．
故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中几何法的关键是熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定、性质及几何特征，建立良好的空间想像能力，几何法的关键是建立适当的空间坐标系，将空间线面关系及线面夹角问题转化为向量夹角问题．