Question

1．已知a＞0且a≠1，证明：a^m+n+1＞a^m+aⁿ（m，n∈N₊）．

Answer 1

分析 通过作差、变形可知a^m+n+1-a^m-aⁿ=（a^m-1）（aⁿ-1）＞0，即得结论．

解答 证明：∵a＞0且a≠1，m，n∈N₊，
∴a＞1，a^m-1＞0，aⁿ-1＞0，0＜a＜1，a^m-1＜0，aⁿ-1＜0，
∴a^m+n+1-a^m-aⁿ=（a^m-1）（aⁿ-1）＞0，
∴a^m+n+1＞a^m+aⁿ（m，n∈N₊）．

点评 本题考查用比较法证明不等式，作差、变形、定号是一般步骤，注意解题方法的积累，属于中档题．