Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，给出以下四个命题：①函数f（x）的图象可由y=

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位而得到；②直线x=

π

4

是函数f（x）图象的一条对称轴；③在区间[

π

4

，

5π

4

]上，函数f（x）是减函数；④函数g（x）=f（x）•sinx的最小正周期是π．其中所有正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：先对函数进行化简为y=A（wx+ρ）的形式，根据左右平移的左加右减原则可判断①；求出函数f（x）的最大值可判断②；求出函数的单调递减区间然后令k=0可判断③；根据二倍角公式整理函数g（x）的解析式，求出最小正周期可判断④．

解答：解：∵f（x）=sinx+cosx∴f（x）=

2

sin（x+

π

4

）
将y=

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位得到y=

2

sin（x-

π

4

）≠f（x）=

2

sin（x+

π

4

）．①不正确；
f（

π

4

）=

2

sin（

π

2

）=

2

为函数f（x）的最大值，故②正确；
令

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，∴

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
当k=0时，

π

4

≤x≤

5π

4

函数f（x）单调递减，故③正确；
g（x）=f（x）•sinx=sin²x+sinxcosx=

1

2

+

3

2

sin(2x-

π

4

)
∴T=

2π

2

=π，故④正确
故答案为：②③④

点评：本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦公式、最小正周期的求法、二倍角公式．三角函数部分公式比较多，容易记混，要强化记忆．