Question

已知等差数列{a_n}中，a₂+a₄=10，a₅=9，数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n+1=b_n+a_n．
（ I）求数列{a_n}的通项公式，写出它的前n项和S_n；
（ II）求数列{b_n}的通项公式；
（ III）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（ I）设a_n=a₁+（n-1）d，由题意得2a₁+4d=10，a₁+4d=9，a₁=1，d=2，
所以a_n=2n-1，．…（4分）
（ II）b₁=a₁=1，b_n+1=b_n+a_n=b_n+2n-1，
所以b₂=b₁+1，b₃=b₂+3=b₁+1+3，…
（n≥2），
又n=1时n²-2n+2=1=a₁，
所以数列{b_n}的通项；…（9分）
（ III）
∴
=． …（14分）
分析：（ I）由等差数列的通项公式，结合条件求出首项和公差，可得数列{a_n}的通项公式及它的前n项和S_n ．
（ II）由b₁=a₁，b_n+1=b_n+a_n，求出数列{b_n}的通项公式．
（ III）化简=，由此利用裂项法对数列{c_n}求其前n项和．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等差数列前n项和公式的应用，用裂项法进行数列求和，属于中档题．