Question

（2012•江苏二模）已知an=(1+

2

)n(n∈N*)．
（1）若an=a+b

2

(a，b∈Z)，求证：a是奇数；
（2）求证：对于任意n∈N^*，都存在正整数k，使得an=

k-1

+

k

．

Answer 1

分析：（1）利用二项式定理将a_n=(1+

2

)n（n∈N^*）展开，可求得a=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…，从而可证a是奇数；
（2）由设a_n=(1+

2

)n=a+b

2

（a，b∈Z），可求得(1-

2

)n=a-b

2

（a，b∈Z），从而可得a²-2b²=（1-2）ⁿ，对n分n为偶数与n为奇数讨论即可．

解答：解：（1）由二项式定理，得a_n=(1+

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

)1+

C

2 n

(

2

)2+

C

3 n

(

2

)3+…+

C

n n

(

2

)n，
又a_n=a+b

2

（a，b∈Z），
∴a=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…，
∵2

C

2 n

+2²

C

4 n

+…为偶数，
∴a是奇数．…（4分）
证明：（2）由（1）设a_n=(1+

2

)n=a+b

2

（a，b∈Z），
则(1-

2

)n=a-b

2

（a，b∈Z），…（5分）
∴a²-2b²=（a+b

2

）（a-b

2

）=(1+

2

)n•(1-

2

)n=（1-2）ⁿ，…（6分）
当n为偶数时，a²=2b²+1，存在k=a²，使得a_n=a+b

2

=

a2

+

2b2

=

k

+

k-1

，…（8分）
当n为奇数时，a²=2b²-1，存在k=2b²，使得a_n=a+b

2

=

a2

+

2b2

=

k-1

+

k

，…（9分）
综上，对于任意n∈N^*，都存在正整数k，使得a_n=

k-1

+

k

．   …（10分）

点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式定理的综合应用，（2）中证明a²-2b²=（1-2）ⁿ是关键，也是难点，考查深刻理解题意与灵活转换的能力，属于难题．