Question

【题目】已知椭圆的方程为，离心率，且短轴长为4．

求椭圆的方程；

已知，，若直线l与圆相切，且交椭圆E于C、D两点，记的面积为，记的面积为，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）12

【解析】

根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆E的方程；设直线l的方程为，先利用原点到直线l的距离为2，得出m与k满足的等式，并将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出弦CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离、，并利用三角形的面积公式求出的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出的最大值。

解：设椭圆的焦距为，椭圆的短轴长为，则，

由题意可得，解得，

因此，椭圆的方程为；

由题意知，直线l的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线l的方程为，设点、，

由于直线l与圆，则有，所以，．

点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，

将直线l的方程与椭圆E的方程联立，消去y并整理得．

由韦达定理可得，．

由弦长公式可得

．

所以，，

．

当且仅当时，即当时，等号成立．

因此，的最大值为12．