题目内容
已知函数f(x)=
+
(a＞0，a∈R)是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即
+
=
+
，…（2分）
整理得(a-
)(ex-
)=0，得a-
=0，又a＞0，∴a=1．…（6分）
（2）由（1）得f(x)=ex+
，设0≤x1＜x2，
可得f（x1）-f（x2）=ex1+
-（ex2+
）=
．
由题设可得，ex1-ex2＜0，ex1+x2- 1＞0，ex1+x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
| e-x |
| a |
| a |
| e-x |
| ex |
| a |
| a |
| ex |
整理得(a-
| 1 |
| a |
| 1 |
| ex |
| 1 |
| a |
（2）由（1）得f(x)=ex+
| 1 |
| ex |
可得f（x1）-f（x2）=ex1+
| 1 |
| ex2 |
| 1 |
| ex2 |
| (ex1-ex2)(ex1+x2-1) |
| ex1+x2 |
由题设可得，ex1-ex2＜0，ex1+x2- 1＞0，ex1+x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
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