Question

【题目】已知函数，，（常数且）.

（Ⅰ）当与的图象相切时，求的值；

（Ⅱ）设，若存在极值，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(I) (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）设切点为，再利用导数的几何意义求出a的值；（Ⅱ）由题得，再对a分类讨论，利用导数分析函数极值情况得到的取值范围.

解：（Ⅰ）设切点为，，

所以过点的切线方程为，即，

所以，解得.

（Ⅱ）依题意，，，

当a＞0时，令，则，

令，，令，，

所以，当时，单调递减；当时，单调递增.

若存在极值，则，即，

又时，，

所以，时，

在存在零点，且在左侧，在右侧，

即存在变号零点.

当a＜0时，当时，单调递增；当时，单调递减.

若存在极值，则，即，

又时，，

所以，时，

在存在零点，且在左侧，在右侧，

即存在变号零点.

所以，若存在极值，.