Question

下列命题中，真命题的是

②

．
①函数y=cos(2x+

π

2

)+1的图象的一个对称中心是(-

π

2

，0)；
②要得到函数y=cos(-

π

3

+2x)的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移

π

12

个单位；
③α=

π

4

+2kπ是tanα=1的充要条件；
④函数y=sinx-

3

cosx  x∈[-π，0]的单调递增区间是[-

5

6

π， -

π

6

]．

Answer 1

分析：函数y=cos(2x+

π

2

)+1的图象的对称中心满足：

2x+ π 2 =kπ+ π 2 ，k∈Z y=1

；将函数y=sin2x的图象向左平移

π

12

个单位，得到y=sin（2x+

π

6

）=cos（

π

3

-2x）=cos（-

π

3

+2x）的图象；α=

π

4

+2kπ⇒tanα=1，tanα=1⇒α=

π

4

+kπ，或α=

3π

4

+kπ，k∈Z，故α=

π

4

+2kπ是tanα=1的充分不必要条件；y=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），x∈[-π，0]的增区间是[-

π

6

，0]．

解答：解：函数y=cos(2x+

π

2

)+1的图象的对称中心满足：

2x+ π 2 =kπ+ π 2 ，k∈Z y=1

，故A不成立；
将函数y=sin2x的图象向左平移

π

12

个单位，
得到y=sin（2x+

π

6

）=cos（

π

3

-2x）=cos（-

π

3

+2x）的图象，故②成立；
α=

π

4

+2kπ⇒tanα=1，tanα=1⇒α=

π

4

+kπ，或α=

3π

4

+kπ，k∈Z，
∴α=

π

4

+2kπ是tanα=1的充分不必要条件，故③不成立；
y=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），x∈[-π，0]的增区间是[-

π

6

，0]，故D不正确．
故答案为：②．

点评：本题考查命题的真假判断及其应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的灵活运用．