题目内容

19.已知数列{an}满足a1=1，an=3n－1+an－1（n≥2）.

 

（Ⅰ）求a2、a3；

 

（Ⅱ）证明an=.

19.

（Ⅰ）解：∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13.

 

（Ⅱ）证法一：由已知an－an－1=3n－1，故

 

an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+…+（a2－a1）+a1=3n－1+3n－2+…+3+1=.

所以证得an=.

证法二：（1）当n=1时，命题成立.

（2）假设n=k时，命题成立.即ak=

那么n=k+1时，ak+1=3k+ak=3k+==

=即n=k+1时命题成立.

综合（1）（2）命题对n∈H均成立.


练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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