Question

已知f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）．
（1）当x＞0，n＞1时，证明：f（x）＞1+xⁿ．
（2）若a₁，a₂，a₃，a₄为f（x）的展开式中相邻四项的系数，证明：

a1

a1+a2

，

a2

a2+a3

，

a3

a3+a4

成等差数列．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=（1+x）ⁿ按二项式定理展开，与（1+xⁿ）作差即可证得结论；
（2）设a₁=

C

k-1 n

，a₂=

C

k n

，a₃=

C

k+1 n

，a₄=

C

k+2 n

，n∈N^*，求得

a1

a1+a2

+

a3

a3+a4

=2•

k+1

n+1

；而2•

a2

a2+a3

=

2

1+ a3 a2

=

2

1+ n-k k+1

=2•

k+1

n+1

，从而可证得，

a1

a1+a2

，

a2

a2+a3

，

a3

a3+a4

成等差数列．

解答：解：（1）∵f（x）-（1+xⁿ）=（1+x）ⁿ-（1+xⁿ）（2分）
=（

C

0 n

+

C

1 n

x¹+

C

2 n

x²+…+

C

k n

x^k+…+

C

n n

xⁿ）-（1+xⁿ）（4分）
=

C

1 n

x¹+

C

2 n

x²+…+

C

k n

x^k+…+

C

n-1 n

x^n-1＞0（6分）
∴f（x）＞1+xⁿ．（7分）
（2）设a₁=

C

k-1 n

，a₂=

C

k n

，a₃=

C

k+1 n

，a₄=

C

k+2 n

，n∈N^*，则（9分）

a1

a1+a2

+

a3

a3+a4

=

1

1+ a2 a1

+

1

1+ a4 a3

=

1

1+ C k n C k-1 n

+

1

1+ C k+2 n C k+1 n

=

1

1+ n+1-k k

+

1

1+ n-k-1 k+2

=

k

n+1

+

k+2

n+1

=2•

k+1

n+1

．（12分）
而2•

a2

a2+a3

=

2

1+ a3 a2

=

2

1+ n-k k+1

=2•

k+1

n+1

．（13分）
∴

a1

a1+a2

+

a3

a3+a4

=2•

a2

a2+a3

．
∴

a1

a1+a2

，

a2

a2+a3

，

a3

a3+a4

成等差数列．（14分）

点评：本题考查二项式定理的应用，考查等差关系的确定，利用组合数公式求得

a1

a1+a2

+

a3

a3+a4

=2•

k+1

n+1

是关键，也是难点；考查分析转化与综合运算能力，属于难题．