Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1,n∈N^*.

(1)当a₁=2时,求a₂,a₃,a₄,并由此猜想出a_n的一个通项公式;

(2)当a₁≥2时,证明对所有的n≥1,有a_n≥n+1.

Answer 1

思路分析:(1)欲求a_n的通项公式,从特殊的几项的公式归纳出一般性结论;(2)利用数学归纳法证明.

(1)解:由a₁=2,得a₂=a₁²-a₁+1=3,

由a₂=3,得a₃=a₂²-a₂+1=4,

由a₃=4,得a₄=a₃²-a₃+1=5.

由此猜想a_n的一个通项公式是a_n=n+1(n≥1).

(2)证明:①当n=1时,a₁=2=1+1,不等式成立.

②假设当n=k时不等式成立,即a_k≥k+1,那么当n=k+1时,

a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+1)(k+1-k)+1=k+2,

也就是说,当n=k+1时,a_k+1＞(k+1)+1.

根据①②,知对于所有n≥1,有a_n≥n+1.