Question

P为椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，若使△F₁PF₂为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由于分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．欲使△F₁PF₂为直角三角形的点P共有8个，由椭圆的几何性质可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大，必须∠F₁PF₂＞90°，此时 ＜0，∴，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．
解答：解：由题意可知，分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．
而当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大，
由条件：欲使△F₁PF₂为直角三角形的点P共有8个，必须∠F₁PF₂＞90°，
故 ＜0，⇒，
∴，
又∵0＜e＜1，∴．
故答案为：．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．