Question

对于函数f（x），若存在x₀=f（x₀），则称x₀为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下若函数f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A，B两点关于直线y=kx+

1

2a2+1

对称，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的a，b的值写出函数f（x）=x² -x-3，根据当x₀=f（x₀），称x₀为f（x）的不动点，得到x²-x-3=x，得两个不动点为-1，3．
（2）f（x）恒有两个不动点，等价于关于x的方程ax²+bx+b-1=0有两个相异的实根，得到△=b²-4a（b-1）＞0，即b²-4ab+4a＞0恒成立，又要用二次函数的判断时来求出结果．
（3）设出A，B两个点的坐标，写出两个点的中点坐标，根据中点在一条直线上，代入直线的方程，把b整理成含有a的代数式的形式，根据基本不等式求出最小值．

解答：解：（1）当a=1，b=-2时，函数f（x）=x² -x-3．
∵当x₀=f（x₀），称x₀为f（x）的不动点
∴x²-x-3=x，得两个不动点为-1，3；
（2）f（x）恒有两个不动点，等价于关于x的方程ax²+bx+b-1=0有两个相异的实根，
∴△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立．∴△′=16a²-16a＜0，解得0＜a＜1．
（3）设A、B两点的横坐标分别为x₁，x₂，则AB中点的横坐标为x0=

x1+x2

2

=-

b

2a

，
A，B两点关于直线y=kx+

1

2a2+1

对称则k=-1
从而纵坐标为y0=kx0+

1

2a2+1

=

b

2a

+

1

2a2+1

，又AB的中点在直线y=x上，
∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

，得b=-

a

2a2+1

=-

1

2a+ 1 a

≥-

1

2 2

=-

2

4

，
当且仅当2a=

1

2a

，即a=

2

2

时，b=-

2

4

．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，本题解题的关键是读懂不动点的含义，特别是第二问中两次应用二次函数的判别式，这是题目的亮点．