题目内容
（2013•佛山一模）数列{an}的前n项和为Sn=2an-2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（3）求证：
+
+
+…+
＜5．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（3）求证：
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
分析：（1）由Sn=2an-2，分别令n=1，2，3可求a1，a2，a3
（2）n≥2时，由an=sn-sn-1可得an=2an-1，结合等比数列的通项公式可求an，然后由b1=a1且b1，b3，b11成等比数列可求公差d，进而可求通项
（3）令Tn=
+
+
+…+
，代入结合项的特点考虑利用错位相减求和先求出左边的式子的和，然后可证明
（2）n≥2时，由an=sn-sn-1可得an=2an-1，结合等比数列的通项公式可求an，然后由b1=a1且b1，b3，b11成等比数列可求公差d，进而可求通项
（3）令Tn=
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
解答：（本题满分14分）
解：（1）∵Sn=2an-2，
∴当=1时，a1=2a1-2，解得a1=2；
当n=2时，S2=2+a2=2a2-2，解得a2=4；
当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3-2，解得a3=8．-----------------（3分）
（2）当n≥2时，an=sn-sn-1=2an-2-（2an-1-2）=2an-2an-1，-----（5分）
得an=2an-1又，a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an=2n．-----------------（7分）
b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列
得（2+2d）2=2（2+10d），-----------------（8分）
解得d=0（舍去）或d=3，----------------（9分）
∴bn=3n-1．-----------------（10分）
（3）令Tn=
+
+
+…+
=
+
+…+
，
∴2Tn=2+
+
+…+
，-----------------（11分）
两式式相减得Tn=2+
+
+…+
-
=2+
-
=5-
，-----------------（13分）
又
＞0，故：
+
+
+…+
＜5．．-----------------（14）
解：（1）∵Sn=2an-2，
∴当=1时，a1=2a1-2，解得a1=2；
当n=2时，S2=2+a2=2a2-2，解得a2=4；
当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3-2，解得a3=8．-----------------（3分）
（2）当n≥2时，an=sn-sn-1=2an-2-（2an-1-2）=2an-2an-1，-----（5分）
得an=2an-1又，a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an=2n．-----------------（7分）
b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列
得（2+2d）2=2（2+10d），-----------------（8分）
解得d=0（舍去）或d=3，----------------（9分）
∴bn=3n-1．-----------------（10分）
（3）令Tn=
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
=
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 22 |
| 3n-1 |
| 2n |
∴2Tn=2+
| 5 |
| 2 |
| 8 |
| 22 |
| 3n-1 |
| 2n-1 |
两式式相减得Tn=2+
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| 2n |
| ||||
1-
|
| 3n-1 |
| 2n |
=5-
| 3n+5 |
| 2n |
又
| 3n+5 |
| 2n |
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公、性质及等差数列的通项公式的应用
，数列的错位相减求和方法的应用，适用具有一定的计算量
，数列的错位相减求和方法的应用，适用具有一定的计算量
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