数列{an}的前n项和为Sn.首项a1=a.且an+1=2Sn+1.n∈N*(1)若数列{an}是等比数列.求实数a的值,(2)设bn=nan.在(1)的条件下.求数列{bn}的前n项和Tn,(3)设各项不为0的数列{cn}中.所有满足ci•ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数 .令cn=bn-4bn(n∈N*).在(2)的条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=a，且an+1=2Sn+1，n∈N*
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数a的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令cn=

bn-4

(n∈N*)，在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

分析：（1）根据a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），类比可得a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），两式相减即可得到结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）确定C₁C₂=-1＜0，n≥2时，C_n＞0，即可得到结论．

解答：解：（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a₁=1
所以数列{a_n}是以1为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）得，an=3n-1
∴b_n=na_n=n•3^n-1
∴T_n=1+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减可得：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ，
∴T_n=

2n-1

•3n+

；
（3）由（2）知，b_n=n•3^n-1，
∵cn=

bn-4

(n∈N*)
∴C1=-3，C2=

，∴C₁C₂=-1＜0
∵C_n+1-C_n=

bn+1

4(2n+3)

n(n+)•3n

＞0
∵C2=

＞0，∴n≥2时，C_n＞0
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．

点评：本题考查等比数列，考查数列的求和，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．