Question

已知数列{a_n}为递减的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁a₄=27，S₄=24．
（1）求数列{|a_n|}的前n（n≥6）项和S′_n；
（2）令bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}为递减的等差数列，且S₄=24，S₄=

4(a1+a4)

2

=24，知a₁+a₄=12，由a₁a₄=27，d＜0，知a₁=9，a₄=3，d=-2，由此能求出数列{|a_n|}的前n（n≥6）项和S′_n．
（2）由bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-11

-

1

2n-9

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为递减的等差数列，且S₄=24，
∴S₄=

4(a1+a4)

2

=24，
∴a₁+a₄=12，
又∵a₁a₄=27，d＜0，
∴a₁=9，a₄=3，d=-2，
∴a_n=-2n+11，
∴a₅＞0，a₆＜0，
∴当n＞6时，Sn′=2S₅-S_n=n²-10n+50．
（2）∵a_n=-2n+11，
bn=

1

anan+1

=

1

(-2n+11)(-2n+9)

=

1

(2n-11)(2n-9)

=

1

2

(

1

2n-11

-

1

2n-9

)，
∴数列{b_n}的前n项和
T_n=

1

2

[（

1

-9

-

1

-7

）+（

1

-7

-

1

-5

）+…+（

1

2n-11

-

1

2n-9

）]
=-

1

2

（

1

9

+

1

2n-9

）
=

n

81-18n

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．