Question

【题目】如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥和构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为，底面中心为，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点与天花板的距离为，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y．

（1）设∠O1AO =(rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；

（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．

Answer 1

【答案】（1），（，）．（2）当角满足（）时，金属条总长y最小．

【解析】

（1）在直角三角形OAO1中，利用三角函数的定义，用表示，其中由实际问题可得θ的范围，最后把吊灯12条侧棱，6条底边，1条顶悬长相加表示y，得答案；

（2）为了方便运算，只令，利用求导的方式得极值，此时即为最小值.

（1）在直角三角形OAO1中，，，

由，所以，

所以θ的范围是，其中，．

从而有

，

所以，（，）．

（2）令，所以，

令，则，则．

当时，；当时，．

函数的单调性与关系列表如下：

		0	+
		极小值

所以当，其中时取得最小值，即y最小．

故当角满足（）时，金属条总长y最小．