题目内容

如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，点P(－1,1)为圆O上一点．曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，点F为其右焦点．

过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．

（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：直线PQ与圆O相切．

(Ⅰ)   (Ⅱ)  


解析:

（1）由题意，得a =，e =，∴c =1，∴b2=1．

所以椭圆C的标准方程为．… 6分

（2）∵P(－1，1)，F(1，0)，∴，∴．所以直线OQ的方程为y =2x． 10分

又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q(2，4)，所以．

又，所以，即OP⊥PQ．故直线PQ与圆O相切．… 15分

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点．
（1）边长为
2
的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．
①求轨迹E的方程；
②过轨迹E上一定点P（x0，y0）作相互垂直的两条直线l1，l2，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l1被圆O截得的弦长为a，设l2被轨迹E截得的弦长为b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．
精英家教网如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，点P（-1，1）为圆O上一点．曲线C是以AB为长轴，离心率为
2
2
的椭圆，点F为其右焦点．过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．
精英家教网如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A、B两点，P在圆O上运动（不与A、B重合），过P作直线l1，OS垂直于l1交直线l2：x=-3于点S．
（1）求证：“如果直线l1过点T（-1，0），那么
OP
•
PS
=1”为真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

（本小题满分15分）如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；

（2）证明：直线PQ与圆O相切．

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