Question

若△ABC满足

sinB

sinA

=3cos(A+B)，则tanB的最大值是

3

4

．

Answer 1

分析：由A和B为三角形的内角，得到sinA和sinB都大于0，进而确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=-3sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=-4tanA，将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为-tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=-4tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．

解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，
∴

sinB

sinA

=3cos(A+B)=-3cosC＞0，即cosC＜0，
∴C为钝角，sinB=-3sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC，即cosAsinC=-4sinAcosC，
∴tanC=-4tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

-3tanA

1+4tan2A

=

3

1 tanA +4tanA

≤

3

4

，
当且仅当

1

tanA

=4tanA，即tanA=

1

2

时取等号，
则tanB的最大值为

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．