Question

已知圆C：（x-1）²+y²=8，过点A（-1，0），直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧，则直线l的方程为

x-y+1=0或x+y+1=0

．

Answer 1

分析：由圆C的标准方程找出圆心C的坐标和半径r，根据题意得到直线l斜率存在，设为k，再由直线l过A点，表示出直线l的方程，再由直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧，得到直线l被圆C截得的弦所对的圆心角为周角的

1

3

，即为120°，根据半径相等，得到等腰三角形的底角为30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可得出圆心距等于半径的一半，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，令d=

1

2

r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出直线l的方程．

解答：解：由圆C的方程（x-1）²+y²=8，得到圆心C为（1，0），半径r=2

2

，
由直线l过A（-1，0），且斜率存在，设为k，可得直线l的方程为y-0=k（x+1），即kx-y+k=0，
∵直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧，
∴直线l被圆截得的弦所对的圆心角为120°，
∴圆心C到直线l的距离d=

1

2

r=

2

，即

|2k|

k2+1

=

2

，
整理得：k²=1，
解得：k=1或k=-1，
则直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．
故答案为：x-y+1=0或x+y+1=0

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：直线的点斜式方程，圆的标准方程，垂径定理，含30°直角三角形的性质，以及点到直线的距离公式，由题意得出圆心C到直线l的距离d等于半径r的一半是解本题的关键．