Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ACD₁；
（2）求面EFB与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的大小．

Answer 1

【答案】分析：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，先写出各点坐标：
（1）取AD₁中点G，则G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），证明与共线即可；
（2）设面EFB的一个法向量，再取底面ABCD的一个法向量，两个法向量的夹角就是所成的锐二面角的大小，从而求解．
解答：解：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、
C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
（1）取AD₁中点G，则G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由，
∴与共线．
从而EF∥CG，
∵CG?平面ACD₁，EF?平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．（6分）
（2）设面EFB的一个法向量，
由得，
故可取，（8分）
取底面ABCD的一个法向量，
由，
所成的锐二面角余弦值的大小为．（12分）
点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的夹角问题，因为此题是正方体，图形比较特殊，利用向量法求解会简单些，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，平时要注意这方面的题．