Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
（1）求f（

π

6

）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（3）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的公式、余弦的差角公式和辅助角公式，化简整理得f（x）=sin（2x-

π

6

），由此即可得到f（

π

6

）的值；
（2）根据（1）中求出的表达式，结合正弦曲线的对称轴公式和三角函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（3）根据题意得：2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，结合正弦函数在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的单调性，即可得到f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=cos

π

3

cos2x+sin

π

3

sin2x+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
∴f（

π

6

）=sin（2×

π

6

-

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

（2）由（1）得f（x）=sin（2x-

π

6

）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
令2x-

π

6

=

π

2

+kπ，（k∈Z），得x=

π

3

+

kπ

2

，（k∈Z）
∴函数图象的对称轴方程为 x=

π

3

+

kπ

2

，（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，得-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴当2x-

π

6

=

π

2

时，即x=

π

3

时，sin（2x-

π

6

）达到最大值1；
当2x-

π

6

=-

π

3

时，即x=-

π

12

时，sin（2x-

π

6

）达到最小值-

3

2

；
综上所述，得f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]．

点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．