Question

已知函数f（x）=log₂（

x

4

+1），数列{a_n}的前n项和为S_n对一切正整数n，点（n，S_n）都在f（x）的反函数图象上，又bn=a_n-log₂a_n，{b_n}前n项和为B_n，C_n=log

4	2

an-5，{c_n}前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）求数列{b_n}的前n项和B_n；
（3）比较

1

4

B_n与T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）点（n，S_n）都在f（x）的反函数图象上，则（S_n，n）在函数f（x）=log₂（

x

4

+1）上，代入求出Sn，再利用公式
sn=

s1     (n=1)   sn-sn-1(n≥2)

求出a_n
（2）利用bn=a_n-log₂a_n  求出b_n的通项公式，再利用错位相减法求和即可
（3）利用C_n=log

4	2

an-5，求出{c_n}的通项公式，求和得Tn，先令n=1、2、3时，比较大小，再用二项式定理证明当n≥3时 

1

4

B_n＞T_n   即可．

解答：解：（1）依题意，n=log₂（

sn

4

+1），∴S_n=2ⁿ⁺²-4
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹
n=1时，a₁=S₁=2³-4=4，也适合上式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*
（2）∵bn=a_n-log₂a_n=（n+1）2ⁿ⁺¹
∴B_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹    ①
2B_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n2ⁿ⁺¹+（n+1）2ⁿ⁺²   ②
②-①得：B_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）2ⁿ⁺² 
=-2³-

23(1-2n-1)

1-2

+（n+1）2ⁿ⁺² 
=（n+1）2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²
=n2ⁿ⁺²
∴B_n=n2ⁿ⁺²
（3）C_n=log

4	2

an-5=4n-1
易得T_n=n（2n+1）
当n=1时 

1

4

B_n=2，T_n=3，

1

4

B_n＜T_n
当n=2时 

1

4

B_n=8，T_n=10，

1

4

B_n＜T_n
当n=3时 

1

4

B_n=24，T_n=21，

1

4

B_n＞T_n
当n≥3时 

1

4

B_n=n2ⁿ
2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n³+…+C_n^n-1+C_nⁿ＞C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1=2n+1
∴

1

4

B_n＞T_n
综上所述，当n=1、n=2时 

1

4

B_n＜T_n 当n≥3时 

1

4

B_n＞T_n

点评：本题综合考查了数列通项公式的求法，错位相减法求和及比较两个数列大小的方法和思路，解题时要认真体会，善于总结