Question

（1）已知A（2，0），B（-1，2），点C在直线2x+y-3=0上，求△ABC重心G的轨迹方程．
（2）如果焦点是F（0，±5

2

）的椭圆截直线3x-y-2=0所得弦的中点横坐标为

1

2

，求此椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的重心坐标公式，求得坐标之间的关系，即可求得△ABC重心G的轨迹方程．
（2）根据焦点坐标得出a²-b²=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b，即可求椭圆的方程．

解答：解：（1）设△ABC重心G的坐标为（x，y），C（m，n），则

3x=2-1+m 3y=0+2+n

∴m=3x-1，n=3y-2
∵点C在直线2x+y-3=0上，
∴2（3x-1）+（3y-2）-3=0
即6x+3y-7=0
∵A，B，C三点不共线
∴6x+3y-7=0(x≠

5

4

)；
（2）由题意可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵c=5

2

，∴a²-b²=50①
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
设弦的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系可得，x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

由中点坐标公式可得，

12b2

a2+9b2

×

1

2

=

1

2

∴a²=3b²②
联立①②可得，a²=75，b²=25
∴椭圆方程为

x2

25

+

y2

75

=1

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．