Question

【题目】在平面四边形中（如图1），为的中点，，，且，，现将此平面四边形沿折起使二面角为直二面角，得到立体图形（如图2），又为平面内一点，并且为正方形，设，，分别为，，的中点.

（Ⅰ）求证：面面；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得面与面所成二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）存在一点符合题意，线段

【解析】

（Ⅰ）由已知条件得、，从而，从而面，同理，面，由此能证明面面；（Ⅱ）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系，求出面的一个法向量，设，求出面的法向量为，根据法向量与二面角之间的关系即可得结果.

（Ⅰ）∵点、、分别为、、的中点，

∴、分别为、的中位线，∴、，

又正方形中，，∴，

又面，面，

∴面，

同理，面，

又，面，面，∴面面.

（Ⅱ）∵二面角为直二面角，又，，∴，

如图建系，则有，，，，，

则，，

设面的法向量，

则，取，得，

设，，则，，

设面的法向量为，

则，

取，得，

由面与面所成二面角的余弦值为，得，

令，解得或，

令，解得；令，解得（舍去）

∴在线段上存在一点，此时，线段.