Question

用数学归纳法证明：

（1）1·(n²-1²)+2·(n²-2²)+…+n(n²-n²)=n²(n-1)(n+1).

（2）=n·2^n-1.

Answer 1

思路分析：(1)恒等式是我们用数学归纳法证明的常见题型，关键就是第二步n=k+1时的提取公式、分解因式等技巧的合理使用.

(2)这是一个有关组合数的问题，它的明显特征是每个组合数的系数与组合数的上标相同，同时它又是一个自然数命题，这就决定了它的证明方法的多样性.

证明：(1)（Ⅰ）当n=1时，左边=1·(1²-1²)=0，右边=·1²·0·2=0，

∴左边=右边，n=1时等式成立.

(Ⅱ)假设n=k时等式成立，即

1·(k²-1²)+2·(k²-2²)+…+k·(k²-k²)=k²(k-1)(k+1)，

∴当n=k+1时，

左边=1·［(k+1)²-1²］+2·［(k+1)²-2²］+…+k·［(k+1)²-k²］+(k+1)［(k+1)²-(k+1)²］

=［1·(k²-1²)+2(k²-2²)+…+k·(k²-k²)］+［1·(2k+1)+2·(2k+1)+…+k(2k+1)］

=k²(k-1)(k+1)+·(2k+1)=k(k+1)［(k-1)+2(2k+1)］

=k(k+1)(k²+3k+2)=(k+1)²k(k+2)=右边，即n=k+1时等式成立，

根据(Ⅰ)与(Ⅱ)，等式对n∈N^*都正确.

(2)方法1：(Ⅰ)当n=1时，左边=C¹₁=1=2⁰=右边，等式成立.

(Ⅱ)假设n=k时等式成立，即

=k·2^-1，

∴当n=k+1时，

左边=

=2^k+2·k·2^k-1=（k+1）·2^k=右边.

等式也成立.

由(Ⅰ)(Ⅱ)知等式对n∈N^*都成立.

方法2：f(n)=0,①

f(n)=+(n-1)+…++0,②

由①+②得：2f（n）=n(++2+3…+n)=n·2ⁿ,

∴f(n)=n·2^n-1.

方法归纳

（1）在第（Ⅱ）步的证明中，必须清楚n=k时，n=k+1时所列等式的左右两边分别如何表达，并能正确使用归纳假设，尤其是代数变形能力（如因式分解、通分、拆项、凑项……）的运用要熟练.

（2）证明与自然数有关的命题时，数学归纳法并不是唯一的证明方法，第2小题就很好地说明了这个问题，所以我们应该优先考虑常用的通法，现成的公式、定理等来证明，迅速作出抉择是否用数学归纳法证明，以达到“化繁为简”的目的.