Question

(本题满分15分)已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离为2.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
(Ⅱ)已知直线与抛物线C交于O (坐标原点)，A两点，直线与抛物线C交于B，D两点．
(ⅰ) 若 |，求实数的值；
(ⅱ) 过A，B，D分别作y轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，D₁．记分别为三角形OAA₁和四边形BB₁D₁D的面积，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）抛物线 的准线为，   
由抛物线定义和已知条件可知，
解得，故所求抛物线方程为.  
(Ⅱ)(ⅰ)解: 设B(x₁，y₁)， D(x₂，y₂)，由 得，
由Δ，得或，且y₁＋y₂＝4m， y₁y₂＝－4m．
又由 得y²－4my＝0，所以y＝0或4m．
故A (4m²，4m)．由 | BD |＝2 | OA |，得(1＋m²)(y₁－y₂)²＝4 (16m⁴＋16m²)，
而 (y₁－y₂)²＝16m²＋16m，故m＝．     
(ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2m＝4m²＋2m．
所以＝＝
＝＝．
令＝t，因为或，所以－1＜t＜0或t＞0．
故 ＝，所以 0＜＜1 或 ＞1，工资 即 0＜＜1 或 ＞1．
所以，的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)．　

略