题目内容
已知f(n)=
+
+
+…+
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（1），f（2），f（3），f（4）归纳并猜想f（n）
（Ⅱ）用数学归纳证明你的猜想．
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| n×(n+1) |
（Ⅰ）求f（1），f（2），f（3），f（4）归纳并猜想f（n）
（Ⅱ）用数学归纳证明你的猜想．
（I）分别计算f（1）=
，
f（2）=
+
=1-
=
，
f（3）=1-
=
，
f（4）=1-
=
，
归纳并猜想f（n）=
（n∈N*）；
（II）证明：①当n=1 时，由上面计算知结论正确．
②假设n=k时等式成立，即f（k）=
，
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+
=
+
=
，
即n=k+1时等式成立．
由①②知，等式对任意正整数都成立．
| 1 |
| 2 |
f（2）=
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
f（3）=1-
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
f（4）=1-
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
归纳并猜想f（n）=
| n |
| n+1 |
（II）证明：①当n=1 时，由上面计算知结论正确．
②假设n=k时等式成立，即f（k）=
| k |
| k+1 |
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+
| 1 |
| (k+1)(k+2) |
| k |
| k+1 |
| 1 |
| (k+1)(k+2) |
| k+1 |
| k+2 |
即n=k+1时等式成立．
由①②知，等式对任意正整数都成立．
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