Question

已知函数f(x)=sinx(

3

cosx-sinx)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若A是锐角三角形△ABC的一个内角，求f（A）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，再结合正弦函数单调区间的公式，即可得到f（x）的单调递减区间；
（2）根据题意，得到f（A）=sin（2A+

π

6

）-

1

2

，而2A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），由此结合正弦函数在区间（

π

6

，

7π

6

）上的图象，即可得到f（A）的最大值与最小值．

解答：解：（1）f(x)=sinx(

3

cosx-sinx)=

3

2

sin2x-

1

2

（1-cos2x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．…（7分）
（2）由（1）得f（A）=sin（2A+

π

6

）-

1

2

∵A是锐角三角形△ABC的一个内角，得A∈（0，

π

2

）
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
结合正弦函数的图象与性质，可得sin（2A+

π

6

）∈（-

1

2

，1]
∴sin（2A+

π

6

）-

1

2

∈（-1，

1

2

]
由此可得，f（A）的最大值为f（

π

6

）=

1

2

，没有最小值…（12分）

点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．