Question

已知命题p：在区间[-1，1]上至少存在一个实数x，使不等式x²+ax-2＞0成立；命题q：方程sinx•cosx=a+2，x∈（0，

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π]有两个解．若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用命题“p∨q”是真命题，则命题P、q至少一个为真命题，求a的取值范围．

解答：解：由于在区间[-1，1]上至少存在一个实数x，不等式x²+ax-2＞0成立；
令f（x）=x²+ax-2，则f（1）＞0或f（-1）＞0
解得：a＜-1或a＞1，
∴命题p为真命题时，a＜-1或a＞1；
∵a+2=

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sin2x，x∈（0，

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4

π]有两个解，
∴0＜a+2＜

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2

，解得：-2＜a＜-

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∴命题q为真命题时，-2＜a＜-

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由于命题“p或q”是真命题，根据复合命题真值表，命题p、q至少一个为真命题，
①当命题p为真命题q为假命题时，a≤-2或-

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≤a＜-1或a＞1；
②当命题p为假命题q为真命题时，a无解；
③当命题p为真命题也为真命题时，a＜-1或a＞1；
综上可知，实数a的取值范围为：a＜-1或a＞1．

点评：本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键．