Question

正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为______．

Answer 1

取BC的中点O，连接AO，DO，建立空间直角坐标系，如图所示


设BC=1，则A(0，0，

3

2

)，B(0，-

1

2

，0)，D(

3

2

，0，0)
∴

OA

=(0，0，

3

2

)，

BD

=(

3

2

，

1

2

，0)
由题意，

OA

为平面BCD的法向量
设平面ABD的法向量为

n

=（x，y，z），则
由

n • BA =0 n • BD =0

，可得

1 2 y+ 3 2 z=0 3 2 x+ 1 2 y=0

取x=1，则y=-

3

，z=1
∴

n

=(1，-

3

，1)
∴cos＜

n

，

OA

＞=

n • OA

| n || OA |

=

5

5

∴sin＜

n

，

OA

＞=

2 5

5