Question

已知函数f(x)=x3-3ax(a≥

1

3

)．
（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入f（x），求出f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，得x=±1，判断出根左右两边导函数的符号．得到f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，求出极值．
（2）判断出g（x）=|f（x）|=|x³+3ax|在[-1，1]上为偶函数，将g（x）x∈[-1，1]，的最大值问题转化为只求在[0，1]上的最大值即可．通过对a的分类讨论，将函数中的绝对值符号去掉，通过导数判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值．

解答：解：（1）当a=1时，f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，得x=±1．
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0，
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时f'（x）＞0．
∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）的极小值为f（1）=-2．…（4分）
（2）因g（x）=|f（x）|=|x³+3ax|在[-1，1]上为偶函数，
故只求在[0，1]上的最大值即可．
∵a≥

1

3

，x∈[0，1]，
∴f（x）=x(x-

3a

)(x+

3a

)≤0，
∴g（x）=|f（x）|=-f（x）．
g′(x)=-f′(x)=-(3x2-3a)=-3(x+

a

)(x-

a

)．
①当a≥1时，g'（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=g（1）=-f（1）=3a-1．…（8分）
②当

1

3

≤a＜1时，g（x）=|f（x）|=-f（x）在[0，

a

]上单调递增，
在[

a

，1]上单调递减，故F(a)=g(

a

)=-f(

a

)=2a

a

．…（12分）
F(a)=

2a a   1 3 ≤a＜1 3a-1 a≥1

…（14分）

点评：不同考查函数的最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．