题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间 $数学公式$ 上的最小值和最大值．

解：（Ⅰ）∵cos²x= $\text{[math]}$ （1+cos2x），sinxcosx= $\text{[math]}$ sin2x，
∴ $\text{[math]}$
=（1+cos2x）+ $\text{[math]}$ sin2x-1= $\text{[math]}$ …（4分）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（6分）
因此，函数f（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$ ．…（7分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ …（9分）
∴ $\text{[math]}$ ，可得-1≤ $\text{[math]}$ ≤2
当 $\text{[math]}$ 时，即x= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，此时函数f（x）的最大值为2．…（11分）
当 $\text{[math]}$ 时，即x= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，此时函数f（x）的最大值为-1．…（13分）
综上所述，函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=-1，最大值为f（ $\text{[math]}$ ）=2．
分析：（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）= $\text{[math]}$ ，结合正弦函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根据x∈ $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，由此结合正弦函数图象在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的单调性，即可得到f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值与最小值．
点评：本题给出三角函数式，求函数的周期并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．