Question

已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。

（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

Answer 1

 解法一：

（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

      故椭圆的方程为

（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而

由得0

设则得，从而    

即又

由得

故

又   

当且仅当，即时等号成立   

时，线段的长度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，

     此时的方程为

     要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或