Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，当数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，则数列{

1

bnbn+1

}的前2013项和S₂₀₁₃为

 

．

Answer 1

分析：利用等比数列的通项公式可得a_n，进而得到b_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=3，a₄=81，∴81=3×q³，解得q=3．
∴an=3n．
∴b_n=log₃a_n=log33n=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴S2013=

2013

2014

．
故答案为

2013

2014

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”，属于基础题．