Question

已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最大值；
（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

Answer 1

（1）（2）（3）的面积是定值

试题分析：解：（1）由已知，解得 ,方程为.4分
（2）当时，显然，由椭圆对称性，只研究即可，
设（），于是            5分
（当且仅当时取等号） 8分
（3） 设,则;
1)当直线的斜率存在时,设方程为,
由 得: ；
有  ①          10分
由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；
整理得:   ②
将①式代入②式得: ,              12分
 
又点到直线的距离
===
所以                   14分
2) 当直线的斜率不存在时,设方程为
联立椭圆方程得: ；
代入得；
,    
综上: 的面积是定值 
又的面积也为,所以二者相等.                  16分
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。