Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一点P到两焦点的距离的和为6，离心率为

2 2

3

，A、B分别是椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f（x）=

[S(x)]2

x+3

，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用P到两焦点的距离的和为6，离心率为

2 2

3

，求出几何量，从而可求椭圆的标准方程；
（2）确定四边形ABCD的面积为S（x），可得f（x）=

[S(x)]2

x+3

，利用导数知识，可求函数f（x）的最大值．

解答：解：（1）依题意，P到两焦点的距离的和为6，离心率为

2 2

3

，
∴2a=6，e=

c

a

=

2 2

3

，
∴a=3，c=2

2

∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆标准方程为

x2

9

+y2=1；
（2）依题意，点D（-x，y）（0＜x＜3）
由点C在椭圆

x2

9

+y2=1上得y2=1-

x2

9

，且S（x）=

1

2

(6+2x)•|y|
∴f（x）=

[S(x)]2

x+3

=（x+3）（1-

x2

9

）=-

1

9

x3-

1

3

x2+x+3（0＜x＜3）
∴f′（x）=-

1

3

（x-1）（x+3）
令f′（x）＞0，则-3＜x＜1，
∵0＜x＜3，∴0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上单调递增；
令f′（x）＜0，则x＜-3或x＞1，
∵0＜x＜3，∴1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）上单调递减，
∴f（x）在x=1处取得唯一的极大值，同时也是最大值，
∴f（x）_max=f（1）=

32

9

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查函数解析式的确定，考查导数知识的运用，属于中档题．