Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=

(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1

an+2tn-1

（n∈N^*）．
（1）当t=2时，求证：{

2n-1

an+1

}是等差数列；
（2）若t＞0，试比较a_n+1与a_n的大小；
（3）在（2）的条件下，已知函数f（x）=

x

x2+4

（x＞0），是否存在正整数t，使得对一切n∈N^*不等式f（a_n+1）＜f（a_n）恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，化简，可得

2n+1-1

an+1+1

-

2n-1

an+1

=

1

2

，从而{

2n-1

an+1

}是以

1

2

为公差的等差数列；
（2）先确定数列的通项，再利用作差比较法，即可得到结论；
（3）对一切n∈N^*不等式f（a_n+1）＜f（a_n）恒成立，可转化为a_n+1a_n-4＞0，{a_n}为递增数列，只需a₁a₂-4＞0，由此可得结论．

解答：（1）证明：当t=2时，an+1=

(2n+2-3)an+2n+1-1

an+2n+1-1

∴an+1+1=

(2n+2-2)an+2n+2-2

an+2n+1-1

∴

2n+1-1

an+1+1

=

an+2n+1-1

2(an+1)

∴

2n+1-1

an+1+1

-

2n-1

an+1

=

1

2

∴{

2n-1

an+1

}是以

1

2

为公差的等差数列；
（2）解：∵an+1=

(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1

an+2tn-1

=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

∴

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2• an+1 tn-1

an+1 tn-1 +2

令

an+1

tn-1

=b_n，则b_n+1=

2bn

bn+2

，b₁=

a1+1

t-1

=2
∴

1

bn-1

=

1

bn

+

1

2

，

1

b1

=

1

2

∴

1

bn

=

n

2

∴

an+1

tn-1

=

2

n

∴a_n=

2(tn-1)

n

∴a_n+1-a_n=

2(tn+1-1)

n+1

-

2(tn-1)

n

=

2(t-1)

n(n+1)

[n（1+t+…+tⁿ）-（n+1）（1+t+…+t^n-1）]
=

2(t-1)

n(n+1)

[（tⁿ-1）+…+（tⁿ-t^n-1）]=

2(t-1)2

n(n+1)

[（1+t+…+t^n-1）+t（1+t+…+t^n-2）+…+t^n-1]
显然t＞0（t≠1）时，a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n；
（3）解：∵f（a_n+1）-f（a_n）=

an+1

an+12+4

-

an

an2+4

=

(an+1-an)(an+1an-4)

(an+12+4)(an2+4

＜0，a_n+1＞a_n
∴a_n+1a_n-4＞0，{a_n}为递增数列
∴只需a₁a₂-4＞0
∴（2t-3）（t²-2）-4＞0
令f（t）=（2t-3）（t²-2）-4，则f′（t）=6t²-6t-8
∴t＞2时，f′（t）＞0，函数为增函数
∵f（2）=-2＜0，f（3）=17＞0
∴满足题意的最小正整数t存在，最小值为3．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．