题目内容

设n=
∫
π
2
0
4sinxdx，则（
1
x
-x）n展开式的常数项为（　　）
A、12B、6C、4D、l
分析：由定积分求得n的值，然后写出二项展开式的通项Tr+1，由x的指数等于0求得r的值，则展开式的常数项可求．
解答：解：∵n=
∫
π
2
0
4sinxdx=（-4cosx）|
 
π
2
0
=-4cos
π
2
-（-4cos0）=4．
∴（
1
x
-x）n=(
1
x
-x)4．
Tr+1=
C
r
4
(
1
x
)4-r•(-x)r=(-1)r
C
r
4
•x2r-4，
由2r-4=0，得r=2．
∴（
1
x
-x）n展开式的常数项为(-1)2•
C
2
4
=6．
故选：B．
点评：本题考查定积分，考查了二项式的展开式的通项公式，是基础的计算题．
练习册系列答案
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在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足．
（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程．
（2）过点Q（一2，0）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点（-
4
17
，0），且以言
a
=(0，1)为方向向量的直线上一动点，满足
ON
=
OA
+
OB
（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．
设函数f（x）=x（
1
2
）x+
1
x+1
，A0为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）  的点，向量
an
=
n
k=1
Ak-1Ak
，向量
i
=（1，0），设θn为向量
an
与向量
i
的夹角，满足
n
k=1
tanθk＜
5
3
的最大整数n是（　　）
（2012•陕西）设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
12
，1)内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
设n∈N*，n＞1，用数学归纳法证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
．
已知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数．
（1）求第n个集合中各数之和Sn的表达式；
（2）设n是不小于2的正整数，f(n)=
n
i=1
1
3Si
，求证：n+
n-1
i=1
f(i)=nf(n)．

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