Question

对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）是“局部奇函数”；（2）.

试题分析：（1）本题实质就是解方程，如果这个方程有实数解，就说明是“局部奇函数”，如果这个方程无实数解，就说明不是“局部奇函数”，易知有实数解，因此答案是肯定的；（2）已经明确是“局部奇函数”，也就是说方程一定有实数解，问题也就变成方程在上有解，求参数的取值范围，又方程可变形为，因此求的取值范围，就相当于求函数的值域，用换元法（设），再借助于函数的单调性就可求出.
试题解析：(1)为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．
即（3分）
有解为“局部奇函数”．（5分）
(2)当时, 可转化为（8分）
因为的定义域为,所以方程在上有解,令,（9分）
则
因为在上递减,在上递增,（11分）
（12分）
即（14分）